Циссоида Диокла

Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по [math]\displaystyle{ OX }[/math], а ось ординат по [math]\displaystyle{ OY }[/math], на отрезке [math]\displaystyle{ OA=2a }[/math], как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке [math]\displaystyle{ A }[/math] проводится касательная [math]\displaystyle{ UV }[/math]. Из точки [math]\displaystyle{ O }[/math] проводится произвольная прямая [math]\displaystyle{ OF }[/math], которая пересекает окружность в точке [math]\displaystyle{ E }[/math] и касательную в точке [math]\displaystyle{ F }[/math]. От точки [math]\displaystyle{ F }[/math], в направлении точки [math]\displaystyle{ O }[/math], откладывается отрезок [math]\displaystyle{ FM }[/math], длина которого равна длине отрезка [math]\displaystyle{ OE }[/math]. При вращении линии [math]\displaystyle{ OF }[/math] вокруг точки [math]\displaystyle{ O }[/math], точка [math]\displaystyle{ M }[/math] описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

[math]\displaystyle{ y^2=\frac{x^3}{2a-x}.\qquad\qquad(1) }[/math]

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

[math]\displaystyle{ \rho=\frac{2a\sin^2\varphi}{\cos\varphi}. }[/math]

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

[math]\displaystyle{ \rho=\frac{2a\left(1-\cos^2\varphi\right)}{\cos\varphi}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =2a\left(\frac{1}{\cos\varphi}-\cos\varphi\right)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =2a\left(\sec\varphi-\cos\varphi\right). }[/math]

Параметрическое уравнение циссоиды:

[math]\displaystyle{ x=\frac{2au^2}{1+u^2}, }[/math] [math]\displaystyle{ y=\frac{2au^3}{1+u^2}, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ u=\mathrm{tg}\,\varphi }[/math].

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка [math]\displaystyle{ P }[/math], которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке [math]\displaystyle{ E }[/math]; ось симметрии — диаметр [math]\displaystyle{ BD }[/math]. Из точки [math]\displaystyle{ P }[/math] проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка [math]\displaystyle{ M }[/math], принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой [math]\displaystyle{ OE }[/math]. Этим методом Диокл построил только кривую [math]\displaystyle{ DOB }[/math] внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды ([math]\displaystyle{ DOB }[/math]) замкнуть дугой окружности [math]\displaystyle{ EAD }[/math], то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — κισσός («киссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Свойства

• Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
• Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math], которые принадлежат диаметру этой окружности.
• Циссоида имеет один касп и асимптоту [math]\displaystyle{ UV }[/math], уравнение которой: [math]\displaystyle{ x=2a }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] — радиус вспомогательной окружности.
• Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является асимптотой циссоиды.

Площадь между циссоидой и асимптотой

Эта площадь равна:

[math]\displaystyle{ S_1=3\pi a^2. }[/math]

Вывод

Площадь, заключённая между ветвями циссоиды [math]\displaystyle{ KOL }[/math] и асимптотой [math]\displaystyle{ UV }[/math] [math]\displaystyle{ S_1 }[/math]. Уравнение верхней ветви [math]\displaystyle{ OL }[/math]:

[math]\displaystyle{ y=\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}.\qquad\qquad(2) }[/math]

Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до [math]\displaystyle{ 2a }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}S_1=\int\limits_0^{2a}\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}\,dx.\qquad\qquad(3) }[/math]

Подстановка:

[math]\displaystyle{ u^2=2a-x,\qquad x=2a-u^2,\qquad dx=-2u\,du. }[/math]

Пределы интегрирования:

[math]\displaystyle{ x=0\Rightarrow u=\sqrt{2a},\qquad x=2a\Rightarrow u=0. }[/math]

Интеграл (3) преобразуется к виду:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}S_1=-2\int\limits_\sqrt{2a}^0\sqrt{(2a-u^2)^3}\,du= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left.-2\left(\frac{u}{8}(10a-2u^2)\sqrt{2a-u^2}+\frac{3a^2}{2}\arcsin\frac{u}{\sqrt{2a}}\right)\right|^0_\sqrt{2a}=\frac{3\pi a^2}{2}. }[/math]

Итак:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}S_1=\frac{3\pi a^2}{2}. }[/math]

[math]\displaystyle{ S_1=3\pi a^2. }[/math]

Объём тела вращения

Объём ([math]\displaystyle{ V_1 }[/math]) тела, образованного при вращении ветви [math]\displaystyle{ OL }[/math] вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

[math]\displaystyle{ V_1=\pi\int\limits_0^{2a}\frac{x^3}{2a-x}\,dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\pi\int\limits_0^{2a}\left(-x^2-2ax-4a^2+\frac{8a^3}{2a-x}\right)\,dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left.-\frac{44\pi a^3}{3}-8\pi a^3(\ln(2a-x))\right|^{2a}_0. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ x\to 2a }[/math], то [math]\displaystyle{ \ln(2a-x)\to-\infty }[/math], то есть [math]\displaystyle{ V_1\to\infty }[/math].

Литература

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с.
• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — Москва: Физматгиз, 1961. — 263 с.

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 53—56 с. — ISBN 0-486-60288-5.
• Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.